三角形四心随想 (三角形四心与向量的关系)
三角形四心随想 (三角形四心与向量的关系)
四心虽然算是三角形中很基础的四个点，但它们所牵扯的定理也是最多的，咱们先来一个个了解一下吧。什么？上小学就都学过了？那我还怎么水……写下面的内容啊？算了，你们看看就好|･ω･｀)
首先是重心(Barycenter)，它是三角形三条基础线——中线的交点：
重心通常以字母G标注
而三条中线交于一点的规律又被称为“重心定理”，咱们来简单的证明一下：
如图：
连接中线BE与CF，两线相交于点G，连接AG并延长至点N，使AG=GN，连接BN，CN；
∵F为AB的中点，G为AN的中点
∴FG为△ABN的中位线
∴FG∥BN
同理可得：EG∥CN
∴四边形BGCN为平行四边形
∴BC与GN互相平分，即D点为BC的中点
∴AD也是△ABC的中线
得证
接下来是外心(Circumcenter)——三条中垂线的交点：
外心通常用字母O标注
至于“外心定理”：三角形的三条中垂线相交于一点，我们只需要一个小引理就可以证明了。
中垂线定理及其逆定理：一条线段的中垂线上的点，到这条线段两端点的距离相等；反过来说，到某条线段两端点距离相等的点，一定在这条线段的中垂线上。
上面这条引理的证明可以利用全等三角形SAS：
其逆定理就用直角三角形全等HL证明
了解了这条引理后，很容易就能证明OA=OB=OC，从而O点在三条边的中垂线上，三线共点证毕。同时，通过OA=OB=OC，我们可以以O点为圆心，OA为半径画圆，易知A，B，C均在⊙O上，即⊙O外接于△ABC，⊙O是△ABC的外接圆，“外心(外接圆圆心)”这一名称由此而来。
再接下来就是内心(Incenter)了——三条角平分线的交点：
内心通常用字母I标注
证明“内心定理”与证明“外心定理”方法一样，也只需要一个引理就可以证明三角形的三条角平分线相交于一点。
角平分线性质定理及逆定理：角平分线上任意一点到角两边的距离相等，到角两边距离相等的点就在角平分线上。
引理的证明方法是利用全等三角形ASA：
其逆定理也是用全等直角三角形HL证明
通过引理我们很简单就可得到上图中：ID=IE=IF，即D，E，F在以I点为圆心的圆上，同时⊙I与AB，BC，CA相切，即⊙I内切于△ABC，“内心(内切圆圆心)”由此而来。
最后就是我们的第四个心——垂心(Ortho-center)，三条高线的交点：
垂心通常用字母H标注
“垂心定理”，三条高线相交于一点的证明要用到四点共圆的性质，相信大家都有所了解吧，在此我就直接给出证法吧：
如图：
作BE⊥AC，CF⊥AB，BE与CF相交于点H，连接AH并延长，交BC于点D，连接FE与DE
由条件可知：∠BFC=∠BEC=90°，同时∠AFH=∠AEH=90°
∴B，F，E，C四点共圆，A，F，H，E也四点共圆
∴∠FCD=∠FCB=∠FEB=∠FEH=∠FAH=∠FAD
∴F，A，C，D四点共圆
∴∠ADC=∠AFC=90°
∴AD⊥BC
∴AD也是△ABC的一条高
三线共点证毕
好了，三角形的四心都一一介绍完毕了。什么？少了旁心？由于它涉及外角平分线，而且还是“三位一体”，所以这次我们就先不介绍它了吧，留到后面再说，让我们先来看看基础四心之间有些什么有趣的联系吧。
欧拉线：
大家应该都知道，过两点可做一条直线，毕竟这可是欧氏几何的公设一啊，所以如果我们再加上一个点，用三个点为基础作线，一般可以得到三条互不重合的直线，但是，万事都有例外，这三条线可以如同三角形三条边一样不重合，也可以相互重合成为一条直线，即“三点共线”，而三角形的四心在不重合的情况下可是有四个点的啊，按理来说应该可以画出4C2=6条不同的直线。但是，就在这四个点中，“例外”出现了：外心O，重心G，垂心H，这三个点在任意三角形中，都在一条直线上，而这条线，就是接下来要说的：欧拉线。
图中的红线就是欧拉线
我找了个奇妙的方法证明这个三点共线：
如图：做出△ABC的外接圆⊙O，延长AO交⊙O于点T，得到直径AT，连接TB，TH，TC
∵AT为直径
∴∠ABT=∠ACT=90°
∴TB⊥AB，TC⊥AC
又∵CH⊥AB，BH⊥AC
∴CH∥TB，BH∥TC
∴四边形HBTC为平行四边形
∴BC与TH相互平分，即点P既是BC的中点，也是TH的中点
∴AP既是△ABC的一条中线，也是△AHT的一条中线
而HO显然也是△AHT的一条中线
∴HO与AP的交点点G就是△AHT的重心
接下来我们要用到重心的一个性质：重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍，这个性质的证明我就不写了，咱们直接用吧
∵G为△ABC的重心，G为△AHT的重心，而AP同为两三角形的中线
∴G与G都在AP上
又由重心的性质，得：AG:GP=AG:GP=2
∴G与G重合
而G在△AHT的中线HO上
∴H，G，O三点共线
证毕
同时我们还能得到：HG:GO=2
四心共点：
上面我们证明了，外心O，重心G，垂心H三点一定是共线的，那有没有四点共线的情况呢？当然有了，这个问题简单到让你们怀疑我在凑字数了吧。等腰三角形由于“三线合一”，显而易见的能使四心共线。那么，让我们将问题反过来提：如何证明四心共线的三角形就是等腰三角形？或者这么问：内心在欧拉线上的三角形是等腰三角形吗？
我想，大部分人肯定想的是：“这个逆命题不和正命题一样简单吗？只要用‘三线合一’逆推一下不就出来了吗？”
欸，这个逻辑还真不能这么想，因为欧拉线可不一定过三角形的顶点哦，而“三线合一”指的是中线，角平分线，高线的重合，前提是从同一顶点引出的，而现在，虽然有一条欧拉线，但是没有证明这条线是否是中线，角平分线或高线中的任意一条，如何能动用“三线合一”去逆推呢？
所以，想用“三线合一”，就得先证明三角形的内心在欧拉线上时，欧拉线过三角形的其中一个顶点，然后才能逆推出等腰三角形哦。
不过，有一种证明方法不用使用“三线合一”去逆推，也能完成证明，且听我一一道来：
首先，让我们从一般的三角形中找一些普遍的边角关系吧
注意K1，K2，K3哦
∵∠HAB=90°-∠B=∠HCB，而∠AOC=2∠B，且OA=OC
∴∠OAC=∠OCA=90°-∠B=∠HAB=∠HCB
同理：
∠OBC=∠OCB=∠HBA=∠HCA
∠OAB=∠OBA=∠HAC=∠HBC
而AI，BI，CI分别为∠A，∠B，∠C的角平分线
∴∠IAB=∠IAC，∠IBA=∠IBC，∠ICA=∠ICB
∴∠IAH=∠IAB-∠HAB=∠IAC-∠OAC=∠IAO
同理：∠IBH=∠IBO，∠ICH=∠ICO
即AI，BI，CI也分别是∠OAH，∠OBH，∠OCH的角平分线
由角平分线定理，可得：
AH:AO=K2H:K2O
BH:BO=K1H:K1O
CH:CO=K3H:K3O
当内心I不在OH上时，显然K1，K2，K3在OH的不同位置
从而：K1H:K1O≠K2H:K2O≠K3H:K3O
∴AH:AO≠BH:BO≠CH:CO
同时AO=BO=CO
∴AH≠BH≠CH
但接下来，当点I在OH上时（如图）：
K1，K2，K3不见了
显然，在这种情况下，K1，K2与I重合了，至于K3，我们不好确定它的位置，就不显示了。
由上面的等式关系，我们依然能够得到：
AH:AO=K2H:K2O
BH:BO=K1H:K1O
但由于K1，K2与I重合，于是我们就可以将等式改成：
AH:AO=IH:IO=BH:BO
∵AO=BO
∴AH=BH
∴∠HAB=∠HBA
而通过上面我们已知：
∠HAB=∠HCB，∠HBA=∠HCA
∴∠HCB=∠HCA
∴CH就是∠ACB的角平分线
∴I就在CH上，即H，I，C三点共线
同时，O也与H，I共线
∴H，I，O，C都在一条直线上
∵HA=HB，OA=OB
由前面中垂线的逆定理可知：
H，O均在线段AB的中垂线上
而C与HO共线
∴C也在AB的中垂线上
∴CA=CB
∴H，I，O三点共线的△ABC是等腰三角形
而通过欧拉线可知，重心G也在直线HO上
∴四心共线的三角形就是等腰三角形
证毕
当然，除了K1，K2的重合，K1，K2，K3不管是哪两点重合，最后都可以推出原三角形是等腰三角形。
不过，我好像跑题了欸，明明这一段是要讲“四心共点”的，怎么成了四心共线了？不急，有了四心共线做的铺垫，咱们就可以轻松理解四心共点了嘛。
首先，由上面的“四心共线”可知，这条线一定会经过三角形的一个顶点，且这个顶点所在的角就是等腰三角形的顶角，而当“四心共点”时，显然其符合“四心共线”的条件，那么这条线过了三角形的哪个顶点呢？是不是从任一顶点引出的线都可使四心在这条线上？所以这个三角形的任意一个角都可以作为等腰三角形的顶角，也可以作为其底角，所以三个角相等，三条边相等，这是个等边三角形。这逻辑是不是完全没问题(ಡωಡ)
不过，除了上面这个“奇葩”的逻辑之外，我们可以“正经”的将：“四心共点的三角形就是等边三角形”再证明一遍，同时，我还可以将“四心共点”改成“二心共点”，结果不变，所以，就有如下六种情况：
欧拉定理（夏普尔定理）——OI²=R²-2Rr：
这个欧拉成百上千的研究之一，描述了内外圆心距与两圆半径之间的关系，我在以前的专栏中曾详细地讨论过这个问题，今天就简单的了解一下吧：
在此提供一个简单的证法
如图：延长角平分线AI，交⊙O于点K，过K作⊙O的直径KL，同时过点I，O作另一直径MN，连接IF，BK，BI
由四点共圆，易知：∠KBC=∠KAC=∠KAB(∠IAF)=∠KLB
同时：∠LBK=∠AFI=90°
∴△AFI～△LBK
∴AI:FI=LK:BK
即：AI·BK=FI·LK，其中，FI是△ABC内切圆半径r，LK是△ABC外接圆直径2R
∴AI·BK=2Rr
∵∠KBC=∠KAB，∠IBA=∠IBC
∴∠IBK=∠IBC+∠KBC=∠IBA+∠KAB=∠BIK
∴△KIB是等腰三角形，即：BK=IK
∴2Rr=AI·BK=AI·IK
由相交弦定理：AI·IK=MI·IN
而：MI·IN=(MO-IO)·(NO+IO)=(R-IO)·(R+IO)=R²-IO²
∴2Rr=R²-IO²
即：IO²=R²-2Rr
证毕
这就是双心距与两圆半径的关系公式，但是，我可不可以将两圆半径换成三角形三边长来表示呢？
让我们从三角形的面积公式入手吧：
三角形面积=底×高÷2
即：S△=ah/2
如果仅仅是这样，或许还发现不了什么，所以我们要稍稍改动一下：
在Rt△ADC中，有h/b=sin∠C
∴h=b·sin∠C
∴S△ABC=ah/2=ab/2·sin∠C
而由正弦定理，可得：sin∠C=c/2R
∴S△ABC=ab/2·sin∠C=abc/4R
∴R=abc/4S
同样，我们借助三角形面积公式与下图的分割方法：
显然，由图可知：
S△ABC=S△ABI+S△AIC+S△IBC
=rc/2+rb/2+ra/2
=r(a+b+c)/2
∴r=2S/(a+b+c)
结合上面的：R=abc/4S，我们可以得到
而S△ABC用三边长abc表示，这就要提到海伦公式了，证明的话到处都有，我就不再赘述了：
结合上面两式，得：
有点复杂，还是忽略它吧
好了，既然外心到内心的距离可以用三角形三边长计算而出，那么是否任意两心之间的距离都可以用三边长来表示？接下来就让我们来试着推一下吧：
OH：
由图所示
直接算太麻烦，让我们从向量入手，首先，我们可以利用这个式子：
怎么证的？还记得我们证明欧拉线的作图吗？
由图已知：四边形BHCT是平行四边形，P为HT中点，O为AT中点
∴OP为△TAH的中位线
∴OP∥AH且OP=AH/2，即：
而显然：
同样由图易知：
得证
有了上式，我们计算OH的长度就有了简单的算法：
看，就这么简单
OG、GH：
有了前面的欧拉线做的铺垫，相信这两条线段长并不怎么难求吧。
由之前所得：O，G，H三点共线，且OG:GH=1:2
∴OG:OH=1:3，GH:OH=2:3
∴OG²=OH²/9=R²-(a²+b²+c²)/9
GH²=4OH²/9=4R²-4(a²+b²+c²)/9
之后再将R²由a，b，c表示就行了，这里我就不写出来了
IH、IG：
这两条线段算是三角形里最难表示了的吧，毕竟我现在也只能通过“暴力计算法”来求出它们的表达式：
当然，如果大家有什么更加简单的证明方法，就在评论区里讨论讨论吧。
最后，我还有一个问题要大家来解决一下，这个问题是我在“无聊”的时候想到的，具体问题如下：
能否在仅知道某三角形四心位置的条件下，用尺规作图还原该三角形？
通过上面的铺垫，我们可以知道，在已知四心位置的条件下，就是已知下面六条关于三角形三边长的方程，最后解出答案即可：
R与r可以转化成用a，b，c表达的式子，这里就不麻烦了
当然，仅仅是解方程的话，理论上是可以解得a，b，c并得出公式解，毕竟通分化简后的方程最高次也不超过4次，可解，并且是唯一解。但是，如果是需要用尺规作图来实现的话，就可能不存在了，因为尺规能够完成的运算只有：加，减，乘，除及开方五种罢了，除此之外连最简单的“³√2”都做不出来（倍立方问题）。
同时，看过我上面发的专栏后，大家应该知道了，在仅知道外心与内心的情况下，我们可以做出无数种三角形，甚至将两圆半径确定的条件下，依然有无数种三角形满足条件：
已知I与O虽知I与O，仍有无数种
同样，仅知道外心与垂心，也有无数种三角形：
已知O和H
但有趣的是，如果同时给出O，I，H时，这个三角形就被确定下来了，如下图：
别看其中有几处似乎重合，那只是非常近似罢了
而且，大家应该注意到，我这里没有提到重心G，毕竟由于欧拉线的存在，使我们可以只由O，G，H中的任意两点得出第三点的位置。所以，所谓的四心，只要知道三心的位置就够了，当然，其中必须要有内心。但是，并不是所有四点组都可以满足做为三角形的四心，首先的三点共线是必须的，并且其中一点要在两点连线段的三分之一的位置处，同时内心也有一定的范围，大致在重心与垂心之间，证明就交给大家吧。
那么，以上就是题目了，大家有没有什么想法啊？毕竟用尺规作图解题可不容易啊。我也只找到一种特殊三角形的做出方法——等腰三角形。但一般三角形则没有什么眉目，期待大家的答案吧。
分两种情况哦，I在OH中点下与I在OH中点和G之间
做法的证明很简单哦，思路是首先通过已知的四点找出外接圆半径，同时确定三角形的顶点，然后再通过垂心确定三角形的底边，这样，等腰三角形就做出来了。最重要的是证明：在等腰三角形中，有│OI - IH│=R-2r，再结合OI²=R²-2Rr，就可以得到外接圆半径R了。
证毕
最后的最后，总结一下吧，稍稍没注意，又写多了（但还是有“些许”东西没写到啊），不过相比于学校里学的，我还是加了点新东西的嘛。当然，我“不太期望”大家能把我最后这个疑问给解决，但是，想一想总没有坏处是吧。算了，你们看着烧脑，我开心就好(ಡωಡ)hiahiahia
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