曲线积分
最早了解的积分的概念中，积分范围是数轴上的一个区间。然后推广到二重积分，其积分范围是平面内的一个区域。这是从线到面的推广。
接着曲线积分是把积分范围从仅沿数轴的区间（线段）推广到光滑曲线弧。而曲面积分是把积分范围从平面内的区域推广到曲面区域。这是从直到曲的推广。
1. 总览
内容大纲
首先，对这部分内容的整体把握。
曲线积分和曲面积分都分为两类：对弧长（面积）的积分；对坐标的积分。个人理解中，可以把第一类与标量挂钩，第二类与向量挂钩。
第一类的应用如：计算线密度为变量的某曲线形元件的质量；计算面密度为变量的某曲面（如：非均匀外壳）的质量。这里的密度（被积函数）便是标量。
第二类的应用如：计算变力沿曲线做功；计算某速度下通过某曲面的流量。这里的力和速度（被积函数）便是向量。
两类曲线积分之间，以及两类曲面积分之间是有联系的。
格林公式描述了平面区域上的二重积分与其边界曲线上的（第二类）曲线积分之间的关系。
斯托克斯公式是格林公式的推广，描述了曲面上的曲面积分与其边界曲线的（第二类）曲线积分之间的关系。
从格林公式和斯托克斯公式出发，需要理解环流量和旋度。
高斯公式描述了空间区域上的三重积分与其边界曲面上的（第二类）曲面积分之间的关系。
从高斯公式（以及格林公式）出发，需要理解通量和散度。
2. 曲线积分2.1 对弧长的曲线积分2.1.1 如何理解对弧长的曲线积分
我们直接从简单的例子出发对概念进行理解，不再或较少提及严谨的公式证明，不严谨之处还望谅解。后续内容也都基于容易理解的理念来说明。
前面提到：对弧长的曲线积分有一应用是计算线密度为曲线形变量的某元件的质量。我们便基于此来说明。
为了计算质量，我们依据取微元的思想，将曲线形元件分为长度趋于0的n个弧段。由于弧段足够的短，于是用弧段上某点的线密度代替弧段上其他各处的线密度。再知道各弧段的长度，我们便可以计算各弧段的质量。由此，我们将每个线段的质量相加，便得到了元件的总质量。
于是我们建立一个直角坐标系，用函数来描述元件的形状和线密度。由于每段的质量=线密度*长度。已知了线密度是与坐标（x，y）相关的值，我们还要找到长度与坐标（x，y）的关系，这样才方便计算。
2.1.2 如何计算对弧长的曲线积分
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