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初中数学三角形常用定理

初中数学三角形常用定理

初中

初中数学三角形常用定理

1、中线定理(阿波罗尼奥斯定理)

设△ABC的边BC中点为P,则有AB²+AC²=2(AP²+BP²)

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AB²+AC²=2(AP²+BP²)

2、垂线定理

△ABC中边AB上的高为CD,则有AC²-AD²=BC²-BD²

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AC²-AD²=BC²-BD²

3、角平分线定理

△ABC中,AD平分∠BAC,则有BD/DC=AB/AC

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BD/DC=AB/AC

4、斯特瓦尔特定理

已知△ABC,D为边BC上一点,则有AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD

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AB²×DC+AC²×BD-AD²×BC=BC×DC×BD

5、射影定理(欧几里得定理)

在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD是斜边AB上的高,则CD²=AD×DB,BC²=BD×BA,AC²=AD×AB

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CD²=AD×DB,BC²=BD×BA,AC²=AD×AB

6、梅涅劳斯定理(梅氏定理)

设△ABC的三边AB、BC、CA或延长线和一条不经过它们任意顶点的直线的交点分别为P、Q、R,则有(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

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(AF/FB)×(BD/DC)×(CE/EA)=1

7、塞瓦定理

设X、Y、Z分别为△ABC的边BC、CA、AB上的一点, 且AX、BY、CZ所在直线交于一点,则有(AZ/ZB)×(BX/XC)×(CY/YA)=1

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(AZ/ZB)×(BX/XC)×(CY/YA)=1

8、西姆松定理

从△ABC的外接圆上任意一点P向三边BC、CA、AB或其延长线作垂线,设其垂足为D、E、F,则D、E、F共线

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D、E、F三点共线

9、海伦公式(希伦公式)

△ABC三边长为a、b、c,则其面积为S=√p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=1/2(a+b+c)

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S=√p(p-a)(p-b)(p-c)

10、燕尾定理

两个有公共边的三角形ABC和ABD,AB与CD交于点M,则S△ABC∶S△ABD=CM∶DM

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S△ABC∶S△ABD=CM∶DM

11、正弦定理

已知△ABC三个顶点,A、B、C所对的边的长度分别为a、b、c,外接圆半径为R,则有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

推论:S△ABC=1/2a·b·sinC

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a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R

12、余弦定理

已知△ABC三个顶点A、B、C所对边的长度为a、b、c,则

a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA

b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB

c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

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a^2 = b^2 + c^2 - 2·b·c·cosA,b^2 = a^2 + c^2 - 2·a·c·cosB,c^2 = a^2 + b^2 - 2·a·b·cosC

13、张角定理

在△ABC中,D是BC上的一点,则有sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

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sin∠BAD/AC+sin∠CAD/AB=sin∠BAC/AD

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