恶龙传说 自我指涉的故事
1948年，荷兰籍艺术家Escher(埃舍尔)创作了一幅版画，取名为《Drawing Hands(手画手)》。这幅名作的神奇之处在于，它好像是自己复制出了自己。画中的两只手构成了一个互为因果，无始无终的怪圈。
1979年，35岁的美国教授Hofstadter(候世达)写了一本神书《Gdel, Escher, Bach: An Eternal Golden Braid》，简称《G.E.B》，其中的E指的就是画家Escher。
我曾经尝试读过这本书的中文版《集异壁之大成》，但实在是跟不上节奏。只记得候世达赞叹埃舍尔的作品：从有限中蕴含着无限…从此我就一直把这幅《画手》设为自己的头像。
1913年，英国哲学家罗素出版了他的巨著《数学原理》。罗素将数学搭建在集合论的基础之上，他深信集合论构成了人类思想最深层的根基。但是就在这座宏伟的大厦即将落成之际，他却出乎意料地在集合论中发现了一个可怕的漏洞，一个合法的矛盾…
公元前6世纪，克里特哲学家Epimenides(埃庇米尼得斯)提出了最古老的“说谎者悖论”：“我正在说的这句话是假话”…根据逻辑，如果上面这句话是真话，那它就是假话；如果上面这句话是假话，那它就是真话。
1900年，大数学家希尔伯特在巴黎国际数学家代表大会上总结过去、展望未来，提出了一系列新命题作为数学下一步的发展方向。其中在算术方面，包含了三个的命题：完备性、一致性和可判定性。
完备性是说：在算术领域，如果一个命题为真，那它就能被证明。也就是说，所有的真命题都可以被证明。是金子总会发光。
一致性是说：如果一个命题能被证明，那它就为真。也就是说，可以证明的都是真命题。假的不能真。
可判定性是说：存在某种机械化的方法可以判断任意命题的真假。
一言以蔽之，“可证明”与“真理”在数学家眼中同为一物，正如“不可证明”与“虚假”。而“证明”这个动作的通用套路可以被找到。
希尔伯特认为这三个命题必然都是真的：在算术领域，真理总能得证，谬论不会成真，存在辨明是非的通用办法。然而…
1931年，25岁的哥德尔提出了“哥德尔不完备性定理”。他证明了在算术领域，完备性和一致性不能同时为真。我理解就是，如果真理的殿堂要想装进所有的真命题，就必然会混进来一些假命题，相反如果想要把所有的假命题都挡在门外，那也必然会挡住一些真命题。
真和假不可能分得一清二楚。或者说，一定存在一些命题，你既不能证明它是对的，也不能证明它是错的，数学（算术）并没有我们过去坚信的那么严谨。
1937年，26岁的图灵发表了一篇论文《论可计算数，及其在可判定性问题上的应用》，解决了希尔伯特算术三命题中的最后一个…不过是从反面。图灵否定了算术系统的可判定性。正过来说，他证明了并不存在万能的证明机器。
至此，希尔伯特的梦想彻底破灭，数学界三观崩塌…
在上面这些人类思想史上顶级头脑们所碰撞出的一系列故事背后，都盘踞着一条逻辑的恶龙——自我指涉。
二、恶龙背后的秘密
候世达在他将近三十年后的第二本书《我是个怪圈》里是这么描述“自我指涉”这条恶龙的：它的怪异来自一个系统“吞食自我”的方式，通过一种意料之外的回路扭转，粗暴地违反了被我们认定为不可侵犯的等级秩序。
《画手》里展现出的怪圈在于：在我们的意识里画家和画作处在两个层次，前者在直觉上“高于”后者。可是在埃舍儿的笔下，这种向上的法则被打破了，因为每一只手都在等级上“高于”另一只，如同武侠小说里左脚踩右脚右脚踩左脚的武当绝学纵云梯般步步高升。
罗素也意识到了这一点，为了修补这条裂缝，他规定了一种新的集合论，不允许一个集合的定义调用那个集合自身。这样一来，通过在《数学原理》中设置出严格的语言等级，严防任何语句指涉其自身。
这种颇有些掩耳盗铃的招数并不怎么奏效，凭什么“单词”这个单词，不能作为“单词”这个概念中的一员呢？
真正看透的是哥德尔，自我指涉背后的秘密其实是对信息的双重使用。
“我正在说的这句话是假话”，埃庇米尼得斯放出的“说谎者悖论”这条恶龙的命门就在于“这句话”。
“我正在说的这句话”是对信息的第一重使用，“这句话”指向了组成这个句子的文字。
“这句话是假话的”是第二重使用，“这句话”指向了这个句子所代表的意义。
“这句话”三个字既可以表示文字符号本身又可以表示字符代表的意思，就如同《画手》中的手，既是创作者又是被创作的对象。这种一箭双雕的结构正是自我指涉的真正奥秘所在。
“单词”当然可以是单词。但是要说清楚，前面带引号的“单词”是由一堆笔画组成的字符串，而后面不带引号的单词，是通过这堆笔画传递的意思。
希尔伯特关注的并不是这种文字游戏般的技巧。他有着更为深刻的担忧。算术体系建立在公理之上，一旦你证明了任何一个特定的假命题，那么以此为根基，无数的其他假命题也会接踵而来。事实上，情况远比这更糟：只要任意一种假命题在算术体系里是可证的，那么每一种可以构想出的算术命题，不论其真假，都会变成可证的陈述，而是这座宏伟的大厦便会在混乱中彻底崩塌。
这是不能承受的，所以希尔伯特对算术系统满足一致性和完备性有着坚定的信仰，他满怀信心地宣称：“我们必须知道，我们终将知道。”
然而屠龙少年哥德尔却发现，潜行在罗素的《数学原理》内部的自我指涉的扭曲，乃是由自然数构成的算术体系所不可避免的必然后果。
哥德尔先提出一个命题A，A=“这个命题是不可证的”。
然后假设命题A可证，则命题A为假，即证明了假命题，从而否定了一致性。
再假设命题A不可证，则命题A为真，即存在不可证的真命题，从而否定了完备性。
算术要么不一致，要么不完备。
故事到这里并没有结束，人类中新的天才渐渐发现自我指涉的威力并不仅仅局限在数学和逻辑领域，它可能“主宰”着所有的生命…
三、复制吧，生命
无论和谁相比，冯·诺依曼都是个天才。有一次诺贝尔奖得主维格纳被问到，为何在他那一代匈牙利涌现了这么多天才，结果他回答说，他不明白这个问题，匈牙利当时只出现过一位天才，那就是冯·诺依曼。
冯·诺依曼发明了现代电子计算机的架构，在这种结构下，运行在计算机里的程序和程序所使用的数据并没有本质的不同，它们都是存储在电子管或者半导体等载体上的，用二进制或者其他方式表示的信息。
你用同一个U盘既可以拷贝一部电影，也可以拷贝用来看电影的播放器软件。在你的电脑里，也没有一个硬件专门用来存放软件程序，另一个硬件专门用于存放数据文件。
冯·诺依曼对一个问题很感兴趣：如何制造可以自我复制的机器。这个问题有一个初级简化版：写一个能够打印自身的程序。
假设这个程序只有一条命令：print(“a”)。运行之后会打印出一个字符:a。为了打印出自身，程序得改写成：print(“print(“a”)”），但这样一来，又得修改为：print(“print(“print(“a”)”)”)……如此反复，陷入到无尽的循环之中。
冯·诺依曼的解法正是利用了自我指涉的奥义：对信息的双重使用。用两种方式去使用内存中的信息：既作为计算机执行的指令，又作为这些指令使用的数据，从而得以避开无穷反复的情形。
制胜的一击就在第5行代码，它命令计算机打印出存储在内存中第L行的字符串。而当L=5时，第5行字符串就是这句命令本身…自指出手，一剑封喉。
冯·诺依曼于1957年因癌症去世，年仅53岁。而癌细胞是一种不受控地自我复制的细胞。随着生命科学的发展，人们逐渐意识到：编写能够打印自身的程序、设计能够自我复制的机器…这不就是生命吗？
冯·诺依曼的洞见跟生命自我繁殖的自然规律如出一辙。DNA双螺旋的自我复制具有跟哥德尔的自我指涉同样的抽象结构。对信息的双重使用也正是DNA复制自身的关键。
对此，候世达是这么打比方的：生命是一台自我复制的机器，DNA是一张特别的蓝图。“父母机”遵从蓝图的指令建造出新的机器，但这台新机器还缺少一个关键的部分。为了填补这块缺陷，父母机就要复制这张蓝图，然后把复本粘贴到新机器上。这样新合成的东西才成为了一个“孩子机”，跟它的父母一模一样。
当生命依据蓝图施工时，它是程序。在拷贝复本的时候，它是数据。这种对基因编码信息的双重使用造就了所有的生命，而且还将带来此后所有的生命。
这就是自我指涉这条恶龙的故事，它带来了悖论，它混乱了逻辑，它撼动了真理，它也造就了生命。
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