离我们（地球）最近的行星是哪颗？
投票截图，原状态：
投票后33小时后，大家的反馈如下：
不出意外的，金星和火星成为了热门选择。也有选了木星和土星的，各两票，这应该可以作为瞎选人数估算参考。从评论看，有部分小伙伴看出了这种问题必有蹊跷，所以作了非常规选择，“其他”这里的10票有不少出自这种心态，水星的选项估计也有类似的情况。
说回正题，为啥我会提这么一个问题？正确的答案又是什么？
这要从CGP Grey（我心目中的geek之神）同在30号发布的一个视频说起，那就是万恶之缘。
油管截图
标题和本篇完全相同，结果让我感到意外，很反直觉。试了两个同事，依然被坑，于是果断开始散播这个问题以报复社会……
到底答案是啥呢？不急，我们按思路来讲。下面是本篇对应视频的大纲：
心理准备做好了么～ 我们开始吧
回顾下太阳系行星成员吧，我们的九……不，八大行星：
从公转轨道半径来排序，地球排行第三，前后分别是金星和火星。
那么，离地球最近的不应该就是金星或者火星了么？
然而，如果这样想你就落入了直觉的陷阱。所谓“距离”，就单纯是“轨道半径差”么？ 问题并不是那么简单……
是的，行星并不会老老实实地排成一行，其位置关系是随时都在变化的，行星间的距离也一直随着相对位置的变化而变化：
所以其实在回答问题之前我们应当反思问题：
“距离”是个啥意思？在这个情况下，如何进一步定义距离，才会让问题更有讨论价值。讨论最短距离么？那确实用轨道半径差就可以。但似乎和大部分的情况有所脱离。似乎讨论“平均距离”才更具备现实意义。
问题并不直观，“想”并没啥卵用，得算一算。于是……
这里是我简单画了下任意两个行星的轨道示意图，姑且我们这里都把轨道简化为圆轨道，并忽略水星轨道面的额外倾角。
因为两者都是在引力作用下的圆周运动，我们知道内圈的总是比外圈的有更快的角速度。另外因为这里我们只关心两者的相对距离，我们可以进一步简化模型——转换参考系，固定地球和太阳的连线。（两个讨论的行星中一颗为地球） 如此一来：
就变成了太阳与地球都不动，只有额外的一颗行星在做更小的一个角速度的绕日圆周运动。这个简化模型下，两行星的距离完全只取决于行星2号的位置。
我们要来求“平均”，当然最直接也是最合理的选项就是用“时间”来平均，因为近似了圆周运动，有恒定的角速度，所以用“角度”来平均也是等效的。那么我们设置下角度：
数学课开始了……
设置了角度以后，行星间的距离很容易用几何方法得到。这里比较直接的就是应用余弦定理。接着，对一个函数变量进行平均的最标准做法，就是平权求和/积分：
这里特意对距离的平方进行积分，是一种出于积分方便的考虑，待会儿会进一步再提。总之，我们代入距离的函数，来算这个积分来求平均的距离平方。
实际操作一下我们就会发现这个积分十分之简单，唯一带sin的一项在0--2pi之间积分为零。所以我们得到：
平均距离平方=两个行星轨道半径的平方和
这个结论非常之简洁、有力和美妙，以及出乎意料！—— 另一颗行星的轨道半径越小，那么距离地球的平均距离也就越小。所以离地球平均距离最近的是公转轨道半径最小的水星！之后依次才排到金星、火星、木星、土星等……
不仅仅如此，这个公式并不仅仅适用于地球的情况，进一步应用你会发现：所有太阳系行星成员（除去水星）的最近邻居都是水星！怎么样，是不是非常反直觉。
虽然没有做推导，但CGP Grey视频内的结论也是一样的。好的，我们完美解决了这个问题……才怪！
以上的推导是有问题的：
所以，严格来说，我们需要直接对距离进行平均，而不是偷懒对距离的平方进行平均。这样我们才能得到准确的结论。然而……
这玩意儿没法积！至少是没有清晰的解析解的，可以进行一定程度的操作，但结果里面也会包含一个椭圆函数的积分。
所以，我们只能求助于数值解法——下面我们进入计算机（编程）课。
【这里选用Python，界面是Jupyter Notebook.】
当然，只是做个积分，函数上也不难判断是个平滑的曲线，直接用最简单的牛顿法来积分就行了。
默认一颗行星公转半径为1，输入另一颗行星公转半径，返回两者平均距离
积分的程序就这么几行。首先我们测试下我们比较容易判断的情况，第二颗行星轨道半径（R2）无限接近于0的情况，那么我们应该得到的就是到太阳的距离，即一个天文单位。
测试
测试无误，数值的误差看来也很小。继续推进来研究不同R2情况下，平均距离的结果吧。先来看个比较大范围的，0到5个天文单位的情况下：
横坐标为第二颗行星的公转半径，纵坐标为与第一颗行星（预设地球）间的平均距离，单位为AU（天文单位）
我们可以清楚地看到，当第二颗行星的公转半径超过地球时，和地球的平均距离几乎就是在线性增长了。
这也比较好理解，越过地球轨道后，无论两者在太阳的同一侧还是在互相的对面，最小距离和最大距离都在随着其公转半径增大而变大。
有意思的是公转半径比较小的范围，我们再放大研究下 0 -- 1.2 A.U. 范围内的情况
这样来看结论就很清楚了，在比较小的公转半径范围内，和地球的平均距离依然和公转半径是单调递增关系。
所以我们通过更严格的分析，也得到了一样的结论：
公转轨道半径越小的行星，其距离地球（或其他任何行星）的距离也越小。
太阳系中所有行星平均距离最近的行星邻居，皆为 水星！
（惊不惊喜，意不意外～是不是突破了你的直觉呢？是的话请务必点赞吧～）
完整的视频讲解请看：
这个小项目里用到的程序，和做好的PPT，可以在我的这个Github地址里下载到：
有兴趣的欢迎下载把玩。
此文也欢迎转载，当然请注明出处。
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