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高等数学-求积分的一些方法(I)

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积分方法

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第一节 换元法

例1.计算

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有人可能会说:直接微积分第二定理就搞定了!

不,这积分不太简单,因为我们找不到它的反导数

为了简便的计算这个定积分,我们可以先算这个不定积分

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然后令t=x^3,则不定积分变成

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然后就可以计算了?不!你有没有发现,这里有两个自变量?(t和x)

为了统一,我们必须换掉一个量,很明显我们要换掉x^2 dx,换成以a dt的形式(a为常数)

好在我们令t=x^3了,那么就有dt/dx=3x^2

这样,就有

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现在即可计算这个不定积分了

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我们现在找到了反导数(即sinx^3/3),所以我们把结果代到定积分,然后使用微积分第二定理,得到

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例2.计算

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看起来好像无从下手啊,但实际上我们有

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令t=sin^-1 x,则

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也就是

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按照上一个例子,我们先计算不定积分以找到反导数

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我们找到了反导数

然后把视线转到定积分,注意一点,在这里我们的做法与上一个例子不太相同

我们把积分上限和下限用t来表示,也就是把x=1/√2和x=√3/2分别代入t=sin^-1 x,就得到

t=π/3和t=π/3

也就是

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求得

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第二节 分部积分法

在学习这节之前,我们需要掌握一个公式:

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u,v是函数

(这个公式是利用链式求导法则的微分形式,然后在等号两边分别积分就得到的)

例1.假设要计算

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令u=x并且dv=e^x dx,这时就有

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现在我们还需要找到du和v,这样就可使用分部积分

du比较简单,du=dx(因为u=x,所以du/dx=1)

那v呢?我们只知道dv=e^x dx,即dv/dx=e^x,很明显那么v=e^x

现在就可以使用分部积分法了:

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也就是

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这就是答案了

例2.求

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首先我们令u=x^2,dv=sinx dx

那么就有v=-cosx,du=2x

然后使用分部积分法:

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然后我们发现,等号右边的第二项貌似还要使用一次分部积分法

没错,的确是的

先把等号右边的第二项的2提出来,然后使用分部积分

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那么令U=x,dv=cosx dx

则V=-sinx, dU=dx

这样替代,就有:

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然后代入回去,即得到

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注意:这里的C是乘上2的,因为常数乘以常数还是常数,所以可以直接+C而不是+2C

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