Gamma函数（一） 从零起步的简单积分与极限

Gamma函数（一） 从零起步的简单积分与极限

第二类欧拉积分：

这个广义积分要想在下限0处收敛，必然有x为正。

第二类欧拉积分定义了Gamma函数在正实数处的取值。可以验证递推，并且显然有自然数n的阶乘与Gamma函数的关系：

2.设n为正整数，有推广完整定义：

这个式子将Gamma函数的定义域推广至绝大多数实数。注意，第二类欧拉积分在0和负实数处是发散的，无法计算，不用来作为完整的Gamma函数定义。

显然也有Gamma函数在0和负整数处无法定义（趋于无穷）。有以下极限（复变中的留数）：

插曲：高中易证小练习。证明

3.极限式定义。

以下积分随着n趋于无穷而趋于0，因此Gamma函数可以写为一系列积分的极限。

右边这个积分可以用分部积分法不断变形。最终可以把Gamma函数写成极限式。

4.两种无穷乘积。

在极限式定义中，阶乘比值部分变形为无穷乘积的方式给定。

另一部分n的x次方有两种变形方法，再结合欧拉常数的一种常见定义：

综上，就有两种不同的无穷乘积式：

分别称为欧拉无穷乘积和魏尔斯特拉斯无穷乘积。这两个无穷乘积对于除了0和负整数的任意实数x，都是收敛的。因此，这两个无穷乘积也可以作为普遍的Gamma函数定义。

5.余元公式与高斯积分。

根据魏尔斯特拉斯无穷乘积，有对称的乘积：

由正弦的无穷乘积式：

就有以下的三种漂亮形式（都可以称为余元公式）：

因此可以解得（高斯积分）：

小结：本讲共讲了以下内容

第二类欧拉积分和完整定义

极限定义

欧拉无穷乘积和魏尔斯特拉斯无穷乘积

余元公式

高斯积分

高斯积分是考试内容，各种变形应当掌握……

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