(微积分基础（12）)微分（1）可微的定义与条件

(微积分基础（12）)微分（1）可微的定义与条件

什么是微分？

举一个例子吧！

对原正方形的边长进行扩大，其面积变化量为：

(x+△x)^2-x^2=2x△x+△x^2

当△x很小时，即趋近于零是时，面积的变化量可以直积用第一部分表示，并且△x越小，精确度也越高，这会让近似计算更加的方便。还有许多函数f(x)，都具有这样的特征，自变量增量△x相对应的函数值的增量△y=f(x+△x)-f(x)可以表达为△x的线性函数A△x（其中A不依赖于△x）与△x的高阶无穷小o(△x)之和时，则称函数y=f(x)在x处（这里的x是某一个值）是可微的，而A

△x便是在此处增量△x的微分，记作dy，即：

dy=A△x

那么，函数什么时候是可微的呢？它的条件是什么？常数A又是什么？

函数可微的条件

由定义可知△y=A△x+o(△x)

则△y/△x=A+o(△x)，

当△x趋于零时，就有：

△y/△x=A，

即

f(x)=A

这也说明，如果函数f(x)在某处可微，那么函数f(x)在此处也一定可导，进一步，我们可以得到：函数f(x)在x0处可微的充分必要条件是函数f(x)在x=x0处可导，并且根据可微可以得到A=f(x)。

再进一步，根据无穷小与极限的关系，那么：

△y=A△x+o(△x)=f(x)△x+o(x)，则

dy=f(x)dx

即：

dy/dx=f(x)

，也就是说函数的微分与自变量的微分之商就等于此函数的导数。之前我们一直把dy/dx看做是导数的整体符号，现在我们赋予了dy与dx各自分别的含义，就可以把这种表达导数的方式看做一个公式了。

这一期就到这里吧！

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