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(快乐数学)射影定理

(快乐数学)射影定理

射影定理。

比较妙的是,在老教材选修4-1有一个射影定理(姑且管它叫直角三角形的射影定理吧)

而我想说的是另一个射影定理。

那就先说说直角三角形的射影定理吧。

如图,在直角三角形ABC中,BD为斜边上的高。

而△ABD∽△CBD∽△ABC

∴AB²=AC·AD

BC²=AC·CD

BD²=AD·CD

这便是直角三角形的射影定理。

这个定理在初中用用还是不错的。

高中emmm

极个别情况也能用到。

除此之外呢还有一个射影定理

在任意的△ABC中,

A+B=π-C

于是

sin(A+B)=sin(π-C)

再用诱导公式

得到

sin(A+B)=sinC

展开得到

sinAcosB+cosAsinB=sinC

再用正弦定理,角化边得到

c=acosB+bcosA

这便是射影定理了。

从几何角度看

acosB是a在c上的射影

所以它叫做射影定理。

那么这个定理有什么用呢?

其实没什么用,基本遇不到。

但是遇到了会很爽。

比如说

直接用射影定理得到

2bcosB=b

2cosB=1

cosB=0.5

B=60°

把a换掉

得到sinB=cosB

得到B=45°

提出sinB,用射影定理

得到bsinB=0.5b

那么sinB=0.5

再用大边对大角

B=30°

爽就完了。

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